Pourquoi, chaque fois que l'on mélange des cartes, le résultat constitue un événement sans précédent dans l'histoire de l'univers ?
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- Author, Tim Harford et Nathan Gower
- Role, BBC, Série "More or Less"
- Published
- Temps de lecture: 6 min
Les chiffres ne cessent de nous émerveiller. Parfois, quelque chose d'apparemment simple devient étonnant dès qu'on se lance dans les calculs. Ou, comme ici, dans le simple fait de mélanger quelques cartes.
« Il est bien connu que si vous mélangez un jeu de cartes, vous obtiendrez une combinaison qui ne s'est probablement jamais produite auparavant », a expliqué Matt Parker, vulgarisateur de mathématiques et humoriste, dans son podcast A Problem Squared .
« Il existe tellement de façons différentes d'arranger 52 cartes que la probabilité qu'une autre personne obtienne exactement la même est, en pratique, nulle », a-t-il ajouté.
Est-ce vraiment vrai ? Peut-on vraiment mélanger seulement 52 cartes de tant de façons différentes qu'à chaque fois on obtient une combinaison unique ?
En cas de doute, nous le mettions au défi de nous convaincre.
« Si vous voulez calculer le nombre de façons d'arranger un jeu de cartes, vous entrez dans le domaine des mathématiques appelé combinatoire, qui traite du dénombrement des combinaisons. »
« Plus précisément, vous utilisez ce qu'on appelle une factorielle, ces nombres qui se terminent par un point d'exclamation. Et en vérité, c'est tout à fait approprié : rares sont les choses en mathématiques qui méritent autant un point d'exclamation que les factorielles, tant elles sont extraordinaires. »
En effet, les factorielles rendent les puissances insignifiantes.
« Oui. Leur croissance est tellement absurde et rapide… Et je crois que ce qui les rend encore plus surprenants, c'est qu'ils apparaissent dans des situations qui, à première vue, semblent si insignifiantes, si simples, si limitées. »
Revenons à cette situation simple, restreinte et limitée qui nous intéresse : nous convaincre qu'à chaque fois que nous mélangeons les cartes, nous créons quelque chose d'inédit.
52!!!!
Un jeu de cartes comporte 52 cartes, mais Matt suggère de commencer par calculer le nombre de façons dont on peut arranger uniquement les 13 cartes en forme de carreau, afin de se faire une idée des dimensions que peut atteindre une factorielle.
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Si vous deviez les disposer vous-même, au lieu de laisser faire le hasard, vous commenceriez par choisir l'une des 13 possibilités… n'importe laquelle. Dès lors, vous auriez déjà commencé à définir l'ordre des cartes : il y a maintenant 12 cartes parmi lesquelles choisir ; puis 11… et ainsi de suite jusqu'à la fin.
Vous aurez créé l'un des nombreux ordres possibles, puisque à chaque étape vous aviez plusieurs options : la dame suivie du roi, ou peut-être l'as, le 7… Mais combien d'ordres possibles existe-t-il exactement ?
Eh bien, il y en a 13 !
Si cela ne vous dit rien, préparez-vous à en apprendre beaucoup, car cela signifie que vous devez multiplier 13 x 12, puis ce résultat par 11, puis par 10... jusqu'à obtenir 1.
Ce faisant, vous vous rendez compte de la rapidité avec laquelle vous passez d'un ordre de grandeur à l'autre.
Observez les sauts : des unités aux dizaines, puis aux centaines, aux milliers, aux millions, puis aux dizaines, aux centaines et aux milliards :
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
6 x 4 = 24
24 x 5 = 120
120 x 6 = 720
720 x 7 = 5 040
5 040 x 8 = 40 320
40 320 x 9 = 362 880
362 880 x 10 = 3 628 800
3 628 800 x 11 = 39 916 800
39 916 800 x 12 = 479 001 600
479 001 600 x 13 = 6 227 020 800
Vous voyez comment non seulement les chiffres augmentent très vite, mais qu'ils croissent de plus en plus rapidement au fur et à mesure ?
Avec les 52 cartes d'un jeu, le nombre de combinaisons possibles est tellement énorme que des mots comme billions, quadrillions, quintillions, sextillions, etc. sont insuffisants.
En clair, 52! équivaut approximativement à 8 × 10⁶⁷, soit un 8 suivi de 67 autres chiffres. Mais si vous préférez des résultats précis…
52! = 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000
Le nombre de possibilités est immense, mais cela prouve-t-il vraiment l'affirmation de Matt ?
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« Vous avez tout à fait raison. Avoir autant de combinaisons possibles est une chose, mais ce qui nous intéresse vraiment, c'est de savoir si deux mélanges différents ont produit exactement le même ordre de cartes », explique le mathématicien.
« Pour le savoir, il faudrait comparer chaque mélange avec tous ceux qui ont été effectués auparavant. »
Vérifier si, parmi toutes les fois où un jeu de cartes a été mélangé au cours de l'histoire, deux résultats ont déjà coïncidé serait évidemment impossible.
Cependant, Matt continue d'affirmer qu'il est correct de déclarer que cette coïncidence ne s'est jamais produite.
Ce n'est pas zéro, mais...
Ainsi, à chaque fois qu'on mélange les cartes, on obtient un ordre précis. Et cet ordre peut correspondre à n'importe lequel des ordres obtenus lors de mélanges effectués au cours de l'histoire.
Mais même s'il existe de nombreuses possibilités de correspondance, le nombre de commandes possibles est encore tellement énorme que la probabilité que deux commandes correspondent reste infime, insiste Matt.
« Même si nous avions 10 milliards d'êtres humains mélangeant une fois par seconde pendant plus longtemps que nous n'avons de cartes, et que nous calculions ensuite la probabilité que deux de ces mélanges correspondent, nous parlerions encore d'une chance sur 4 x 10²⁶.
« C'est un nombre absurdement grand. Cependant, à proprement parler, il n'est pas égal à zéro. »
« Et c'est là que les gens se fâchent quand je dis que cela ne s'est jamais produit, parce qu'ils s'obstinent sur le fait que ce n'est pas exactement 0. »
« Je dirais qu'il est indiscernable de 0, ou que, pour toutes les applications pratiques, il est égal à 0. Bien qu'il puisse exister une manière plus prudente de l'exprimer. »
« Il existe différents degrés de ce que l'on pourrait appeler « pratiquement zéro ». Si vous dites que quelque chose a une probabilité d'une sur un million, cela peut quand même se produire. Nous sommes des millions. »
« Si vous dites que la probabilité est d'une chance sur un milliard ou sur un billion, il arrive un moment où nous n'avons même plus assez d'opportunités dans notre univers pour que cela se produise. »
Après avoir entendu à maintes reprises « ce n'est pas vraiment zéro », Matt a mené des expériences sur des choses improbables pour se faire une idée de ce que cela signifie… comme passer plusieurs jours à lancer une pièce de monnaie encore et encore.
« Je l'ai lancé 10 000 fois pour voir combien de fois il atterrirait non pas sur pile ou face, mais sur le bord... et c'est arrivé 14 fois. »
« Et je me suis dit : "Ah, c'est peu probable, mais c'est possible." »
« Quand on commence à tenter des choses improbables, on se rend vite compte de la différence entre une chance sur 1 000, une chance sur 10 000 et une chance sur 100 000. Et petit à petit, on comprend ce qui peut ou non se produire en un an, en un mois ou au cours d'une vie. »
« Quand on arrive à des probabilités de 1 sur 1 milliard, on se rend compte qu'il est impossible qu'une seule personne soit jamais témoin d'une chose pareille. »
« Et si la probabilité dépasse 20 chiffres, peu importe le nombre d'êtres humains, de planètes ou de galaxies : la probabilité que cela se produise est tellement infime qu'en réalité, elle est nulle. »
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* Cet article est adapté d'un épisode de la série de la BBC « More or Less », qui explore le rôle des nombres dans la vie. Écoutez-le sur votre application de podcasts préférée.
